Ecuación Cúbica

La historia de esta parte del álgebra es muy interesante. Primero estudien como se resuleve aquí.

Esta ecuación es relevante para entender los números complejos. Pueden estudiar estos aquí.


De donde saqué lo siguiente:

Esbozo histórico [editar]

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo (en el artículo de wikipedia) mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Scipiano del Ferro, Scipione Matemático (1465 - 1526, Bologna hoy Italia)

Scipione del Ferro nació el 6 de Febrero de 1465 en Bolonia ciudad en la que también murió el 5 de Noviembre de 1526. Aunque no es un matemático muy conocido, su papel en la historia de la Matemática tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. Sería Scipione del Ferro, hijo de un impresor de Bolonia, el primero en estudiar con un método ortodoxo, la obtención de las raíces o soluciones de las ecuaciones cúbicas.

Desde la época de los babilonios, 2500 a.d.C.,cuando estos ya conocían la solución de las ecuaciones de segundo grado, (para aplicarlo a sus construcciones) y hasta el s. XVI no hubo avances significativos con respecto a este tema.

Unos cuántos años antes los famosos matemáticos medievales Fibonacci y Luca Pacioli, habían tratado someramente estos problemas, pero sólo resolviendo algunos casos particulares, e inclusive sin llegar a una demostración racional de tales soluciones.

Scipione del Ferro se educó en la Universidad de Bolonia que fue fundada en el siglo XI. Sus padres fueron Floriano y Filippa Ferro. Floriano trabajaba en la industria del papel, debido al invento de la imprenta hacia 1450. Fue profesor de Aritmética y Geometría en dicha universidad desde 1496 hasta el final de su vida. En sus últimos tiempos se dedicó a las transacciones comerciales.

No han sobrevivido escritos de del Ferro, ello se debe a la resistencia que tenía a divulgar sus trabajos, prefería comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos. Se cree que tenía algún manuscrito donde guardaba sus importantes descubrimientos. Este manuscrito pasó al yerno, Annibale Nave, cuando del Ferro murió en 1526. Que también se dedicó a la Matemática y lo reemplazó como catedrático, cuando falleció, en la Universidad de Bolonia. Estaba casado con la hija de del Ferro, Filippa.

En 1543, Cardano y Ludovico Ferrari (un alumno de Cardano) viajan a Bolonia en busca de Nave y del manuscrito de su suegro, para analizar este tema. Según cuenta Ferrari, ambos se encontraron con Nave en Bolonia y éste les muestra el manuscrito de del Ferro donde aparecía la resolución de la ecuación de tercer grado. Aunque el manuscrito no se conserva, y tampoco Cardano lo publicó, que hubiera sido lo correcto. En cambio, éste último publicó una versión de los resultados de Tartaglia atribuyenlos a del Ferro.
Hay conjeturas sobre si del Ferro trabajó sobre el tema como consecuencia de una visita que realizó Pacioli a Bolonia. Pacioli enseño en la Universidad de Bolonia entre 1501 y 1502 y discutió distintos temas matemáticos con del Ferro. No se sabe si trataron este tema, pero Pacioli lo incluyó en su famoso tratado Summa que había publicado 7 años antes.

Algún tiempo después de la visita de Pacioli, parece que del Ferro había resuelto uno de los dos casos con coeficientes positivos. En 1925, examinando manuscritos del siglo XVI, se atribuye a del Ferro un método para resolver el caso: 3x^3+ 18x =60.

Hoy se cree que del Ferro sólo podía resolver cúbicas de esa forma x^3 + mx = n, con m y n positivos. Hoy día también se sabe, que el caso general, y^3 - by2 + cy - d = 0, se reduce a este por medio del cambio lineal y = x + b/3. Obteniéndose la cúbica reducida anterior con los valores m = c - b/3, n = d - bc/3 + 2b/27.

En notación moderna la solución de la cúbica reducida x^3 + bx = c se obtiene de la siguiente forma: sea x=y-z, entonces (y-z)^3=y^3-z^3-3y^2z+3yz^2. Sacando factor común a 3yz, y pasando al primer miembro, se obtiene (y-z)^3+3yz(y-z)=y^3-z^3. Donde se puede identificar los coeficientes b=3yz, c=y^3-z^3.

De donde, z = b/3y, lo podemos sustituir en la otra igualdad, obteniendo y^3- b^3/27y^3 = c. O sea, y^6 -cy^3 - b^3/27 =0. De donde podemos obtener el valor de y^3, resolviendo la ecuación cuadrática t^2-ct - b^3/27 =0 y sustituyendo ese valor en z = b/3y. Restando finalmente ambos valores obtenemos una solución de la cúbica reducida. Fórmula hoy día conocida como del Ferro-Tartaglia:




Sin el conocimiento indú de los números negativos no se hubiera podido resolver esta ecuación reducida. Notablemete, del Ferro resolvió su cúbica probablemente antes de 1515, pero lo mantuvo en secreto hasta el final de su vida, en 1526, cuando se lo reveló a su discípulo Antonio Fiore.

Cardano en su obra Ars Magna sostiene que lo que publica es el método de del Ferro y no el de Tartaglia, aunque probablemente mentía. Cardano había prometido a Tartaglia no divulgar su método, que resovía más casos que del Ferro, Cardano había conseguido "sacársela" con una mentira.

Del Ferro, también hizo importantes contribuciones en la racionalización de fracciones extendiendo los métodos conocidos para denominadores con raíces cuadradas a denominadores con suma de 3 raíces cúbicas.


Tomado de Enrique R. Aznar de la Universidad de Granada.

La historia como la entiendo del libro de Boyer es así:

Como leemos en el libro de Carl B. Boyer en la página 311 de la edición en inglés de 1968; La ecuación sin término cuadrático ya era conocida por Scipione, que se la enseñó a su estudiante y yerno Antonio María Fior, según Boyer, un matemático mediocre. Niccolo Fontana (Tartaglia) se enteró de esta solución. Jerónimo Cardano se enteró por Tartaglia (tartamudo). Finalmente la publicó en Ars Magna.