EUDOXIO DE CNIDO
Eudoxio (408-355 a. de J. C.), de Cnido, heredó el legado que hizo Zenón al inundo y no mucho más. Como muchos de los hombres que se han dedicado a la Matemática, Eudoxio sufrió de extrema pobreza en su juventud. Platón estaba en sus años mozos cuando vivía Eudoxio y Aristóteles tenía alrededor de los 30 años cuándo Eudoxio murió. Tanto Platón como Aristóteles, Los filósofos principales de la antigüedad, estaban influidos por las dudas que Zenón habíainyectado en el razonamiento matemático y que Eudoxio, en su teoría de las proporciones - "la corona de la Matemática griega"-, suavizó hasta la última cuarta parte del siglo XIX. Siendo joven, Eudoxio se trasladó a Atenas desde Tarento, donde había estudiado con Archytas (428-347 a. de J. C.), un excelente matemático, administrador y soldado. Llegado a Atenas, Eudoxio pronto encontró a Platón. Como era demasiado pobre para vivir cerca de la academia, Eudoxio venía desde el Pireo, donde el pescado, el aceite de oliva y el alojamiento eran baratos.
Aunque Platón no era un matemático en el sentido técnico, fue llamado "el hacedor de la Matemática" y no puede negarse que cuando estaba irritado hacía Matemáticas infinitamente mejores que cuando quería crear verdaderas Matemáticas. Como veremos, su notable influencia para el desarrollo de la Matemática fue probablemente perniciosa. Pero rápidamente reconoció lo que era Eudoxio y fue su amigo devoto hasta que comenzó a sentir celos por su brillante protegido. Se dice que Platón y Eudoxio hicieron juntos un viaje a Egipto. De ser así, parece que Eudoxio fue menos crédulo que su predecesor Pitágoras. Platón, sin embargo, muestra los efectos de haberse incorporado buena parte del misticismo de los números, propio del Oriente.
Los Grandes Matemáticos E. T. Bell Preparado por Patricio Barros Encontrándose poco popular en Atenas, Eudoxio se estableció y enseñó en Cycico, donde transcurrieron sus últimos años. Estudió medicina y se dice que fue un médico práctico y un legislador por encima de su Matemática. Como si todo esto no fuera suficiente, realizó un serio estudio de Astronomía, a la cual enriqueció con notables contribuciones. En su construcción científica se encontraba varios siglos adelante de sus verbalizantes y filosofantes contemporáneos. Como Galileo y Newton, tenía un gran desprecio por las especulaciones acerca del Universo físico que no podían ser comprobadas por la observación y la experiencia. Si marchando hasta el Sol, decía, pudiera decirse cuál es su forma, tamaño y naturaleza, podría correrse gustosamente el destino de Faetón, pero mientras tanto no hay necesidad de establecer conjeturas.
Alguna idea de lo que Eudoxio hizo puede obtenerse partiendo de un sencillo problema. Para encontrar el área de un rectángulo multiplicamos el largo por el ancho. Aunque esto nos parece fácil presenta graves dificultades, a no ser que ambos lados sean medibles por números racionales. Pasando por esta particular dificultad, la vemos en una forma más evidente en el siguiente tipo más sencillo de problema, el de hallar la longitud de una línea curva, o el área de una superficie curva, 0 el volumen encerrado por superficies curvas. Quien desee comprobar su capacidad matemática, debe intentar descubrir un método para demostrar estas cosas. Supuesto que jamás lo haya visto hacer en la escuela, ¿cómo procederá para dar una prueba rigurosa de la fórmula de la longitud de una circunferencia que tenga un determinado radio? Siempre que por su propia iniciativa lo haga, puede pretender ser considerado como un matemático de primera categoría. En el momento en que se pasa de las figuras limitadas por líneas rectas o superficies planas caemos en los problemas de la continuidad, los enigmas del infinito y los laberintos de los números irracionales. Eudoxio ideó el primer método lógicamente satisfactorio que Euclides reprodujo en el Libro V de sus Elementos. En su método de exhausción aplicado al cálculo de áreas y volúmenes, Eudoxio demostró que no necesitamos aceptar la "existencia" de "cantidades infinitamente pequeñas". Para los fines de un matemático es suficiente poder llegar a una cantidad tan pequeña como queramos por la división continuada de una cierta cantidad. Para terminar cuanto se refiere a Eudoxio mencionaremos su definición, que marca una época, de las razones iguales que capacitan a los matemáticos para tratar los números irracionales tan rigurosamente tomó los racionales. Este fue esencialmente el punto de partida de la moderna teoría de los irracionales.
"Se dice que la primera de cuatro cantidades tiene la misma razón respecto de la segunda como tiene la tercera respecto de la cuarta, cuando, siempre que consideremos equimúltiples (iguales múltiplos) de la primera y la tercera, y cualquier otro equimúltiplo de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual a, o menor que el múltiplo de la segunda, cuando el múltiplo de la tercera es mayor, igual, o menor que el múltiplo de la cuarta".
Antes de la nueva fase alejandrina, debemos mencionar el trabajo de Eudoxio (c.408-355 a.C.) que nació en Cnido alrededor del año 408 a.C. Este fue uno de los matemáticos más importantes de toda la cultura griega. Eudoxio se supone fue discípulo de Arquitas (fl.c.400-360 a.C.), en Tarento; y también formó parte de la Academia de Platón. Podría considerarse como el mejor astrónomo y matemático de su época; el veía al igual que Platón, la discrepancia y la falta de coherencia que existía entre las teorías astronómicas de su tiempo. Siguiendo las ideas de Pitágoras, Eudoxio presentó una teoría enteramente geométrica del cielo, 26 esferas transparentes girando alrededor de la tierra en las que se representaba al sol, la luna y las estrellas como cuerpos siderales asociados a conceptos matemáticos. Pero su teoría a diferencia de la de Pitágoras, no solo era descriptiva, intentaba explicar su naturaleza a través de una teoría geométrica.
Se puede establecer un sistema de coordenadas en la bóveda celeste mediante la utilización de planos y líneas; hay tantas formas que es difícil saber cuál es el apropiado para la solución de un problema astronómico particular. Ahí está el sistema de coordenadas horizontal, el sistema de coordenadas ecuatorial, sistema de coordenadas elípticas, sistema de coordenadas galácticas y algunos otros.
Se llama esfera celeste a la esfera imaginaria de radio cualquiera con centro en un punto O del espacio, en cuya superficie se representan o disponen los cuerpos siderales tal y como se ven en el cielo durante un cierto memento t del día o de la noche (Fig.1) La línea AB que pasa por el centro de la esfera y cuya dirección está determinado por la plomada, suele llamarse línea de aplomo. El punto A se llama cenit y el B nadir que son determinados por el punto más alto sobre el observador y el diametralmente opuesto. El plano NSEW, que contiene a las rectas NS y EW, determinado por el círculo máximo de la esfera celeste se llama plano del horizonte matemático o simplemente horizonte matemático. El horizonte matemático divide a la esfera celeste en dos hemisferios, en uno, el visible, el observador ve el cenit y en el otro, el invisible, el observador no ve nada, incluyendo el nadir.
Los círculos menores paralelos al horizonte matemático, como el UPV y considerados en la bóveda celeste visible, determinan los círculos o trayectorias de los cuerpos siderales, como en P y se les suele llamar Almicantarat del astro. (Fig.1).
El circulo máximo que incluye al cenit y al nadir y que pasa por P se llama Circulo de Altitud y determina la intersección P con el plano UPV y especifica su altitud con relación al horizonte matemático y, por ello, sus coordenadas siderales.
La recta QQ´, que determina la dirección de la rotación de la esfera celeste, suele llamarse eje del mundo y se intercepta con la superficie de la esfera celeste en el polo celeste boreal, en Q y en el polo celeste austral, en Q´. El ecuador celeste es el plano ec determinado por el círculo máximo perpendicular al eje del mundo. Este plano divide a la esfera celeste en dos hemisferios, el boreal y el austral, según contenga al polo boreal o austral. Un círculo menor que contenga a un astro P, en el hemisferio boreal, se denomina paralelo celeste o diurno del astro. Los movimientos de los cuerpos siderales tienen lugar por los paralelos diurnos.
El círculo máximo QPQ´ que contiene a los polos boreal y austral y al astro P se llama círculo horario o círculo de declinación del astro.
El círculo máximo de la esfera celeste QSVN que pasa por la línea de aplomo y del eje celeste QQ´ se llama meridiano celeste, éste determina un plano, el plano del meridiano celeste, que divide a la esfera celeste en dos hemisferios, el oriental y el occidental, según se contenga al punto Este u Oriente, representado por E o al punto Oeste u Occidente, representado por W. Los planos del meridiano celeste y del horizonte matemático se interceptan en la recta NOS conocida como la línea meridiana.
La rotación de la esfera celeste trata de imitar o reflejar los movimientos de la bóveda celeste y puede ser utilizada para representar, en ella, las posiciones aparentes y movimientos de los cuerpos siderales, fijando previamente los puntos y líneas que sirven de referencia, mediante los cuales se efectúan las mediciones de las posiciones relativas de los cuerpos siderales, considerado el punto P y el momento t elegidos. La determinación de las magnitudes, ángulos y arcos de los círculos mayores, especifican las coordenadas celestes de un cuerpo sideral. Si las mediciones se efectúan con relación al plano del horizonte matemático entonces se dice que el sistema utilizado es el sistema coordenado horizontal. Si se efectúan con relación al plano ecuatorial entonces el sistema de coordenadas se llama sistema ecuatorial de coordenadas. Estos sistemas coordenados nos llevan a considerar que, mucho antes de que se les ocurriera a los matemáticos europeos del siglo XVI los sistemas de coordenadas, ya los astrónomos y cartógrafos griegos los utilizaban en sus mapas y representaciones siderales. Fue ahí, en los mapas, que se utilizó a los primeros sistemas coordenados y, con ello, no está lejos la idea de que así surgieron.
Las teorías en que los astrónomos griegos creyeron se complicaron sobremanera por la determinación de los verdaderos movimientos de los cuerpos siderales, ya que todos ellos son observados desde la tierra y no hay algo inmediato que indique que la tierra está en movimiento. Si la tierra sólo girase sobre su eje y no en torno al sol los movimientos aparentes de los cuerpos celestes serían, aún así, diferentes a los verdaderos; de ello se desprende que si añadimos el movimiento de la tierra en torno al sol los movimientos aparentes y los verdaderos de los cuerpos siderales pueden diferir en mucho. Por ésta razón entre los antiguos astrónomos prevalecieron dos corrientes conceptuales para la explicación del sistema sideral. Una de éstas corrientes, basada en las observaciones naturales, afirmaba que la tierra está fija y no posee más movimiento; por ello, el sol y la luna deberían girar en torno a ella, de otro modo no podría explicarse el día y la noche. Otra corriente astronómica afirmaba que la tierra se mueve entorno al sol y gira sobre su propio eje, pero éstas afirmaciones sólo se basaban en una gran especulación y las pruebas de ello sólo estaban al alcance de los grandes sabios que no pudieron convencer a la multitud de lo contrario, quizá por no tener las pruebas necesarias para ello y, además, iba totalmente en contra de la idea natural y aparente de la inmovilidad de la tierra; y no solo eso, iba en contra de las ideas religiosas que determinaban que la tierra era el centro del universo; total, si el ser humano se ha considerado a lo largo de la historia como el príncipe de la creación ¿Por qué no tener un lugar privilegiado para vivir?.
La teoría astronómica de Eudoxio fue, sin duda alguna, la primera teoría astronómica en el sentido moderno, si entendemos teoría moderna como aquella que intenta describir matemáticamente a la naturaleza. Y es que, Eudoxio geometrizó a los cuerpos celestes; para él no eran simplemente materiales o espirituales, eran conceptos matemáticos insertados en un engranaje geométrico preciso, en una teoría que trataba de dar coherencia a todas las ideas que prevalecían en su época; él quería dar cabida, por un lado, al pensamiento racional, y por otro, a la explicación natural del transcurrir de los fenómenos siderales. Su teoría es una descripción geométrica del cielo, es decir, intenta explicar y describir los movimientos de los cuerpos siderales a pesar de que no se dieran las causas que producen los movimientos, las fuerzas gravitatorias; y, sin embargo, Eudoxio fue más allá al tratar de determinar un modelo geométrico que le diera sentido y coherencia a la astronomía, que pudiera explicar y predecir el futuro del sistema sideral.
Eudoxio siendo discípulo de Platón, seguía las ideas establecidas en su época. Supuso a la tierra como el centro del universo y consideró que las estrellas se encuentran incrustadas en una esfera transparente con centro en la tierra, así podía explicar su movimiento nocturno por el cielo. Luego consideró que los planetas se encontraban asociados a cinco esferas con centro en la tierra, esferas concéntricas que determinaban su movimiento por el cielo.
Para la explicación del movimiento retrograda de un planeta Eudoxio ideó más esferas, la que contenía a un planeta podía girar en un eje que no estaba fijo en el espacio sino asociado a otra esfera mayor. La segunda esfera podía girar sobre un eje asociado a una tercera, y el eje de la tercera podía girar sobre otro eje asociado a una cuarta y así sucesivamente según se necesitase descomponer el movimiento aparente de un planeta; además los ejes de las esferas generalmente no llevaban la misma dirección ni tenían las mismas velocidades. Bajo la perspectiva de los ejes de las esferas asociados a otras esferas se necesitaba de cuatro esferas para explicar el movimiento de cada uno de los planetas conocidos en aquella época, a saber, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno; para la explicación del movimiento del sol y la luna se requerían tres esferas para cada uno; eso nos da 26 esferas para explicar el sistema solar, que aunado a la Esfera Fija de las Estrellas da un total de 27 esferas cónicas Siderales. (Fig. 2)
Es muy probable que la teoría astronómica de Eudoxio no fuera comprendida en su tiempo, ¡Era demasiado matemática!. Fue sustituida por otra elaborada mediante los trabajos de tres grandes astrónomos griegos, Apolonio de Perga (267-185 a. de C.), Híparco de Nicea (180-125 a. de C.)y Claudio Ptolomeo de Alejandría (100-168 d. de C.), que tampoco son muy simples.
Pero la visión matemática de Eudoxio no sólo quedó en la astronomía, vislumbró una ciencia exacta incomparable más general, no sólo aplicada al movimiento de los astros, sino a problemas que involucran la idea de los procesos infinitos.
Las contradicciones que surgieron con los pitagóricos al tratar de explicar los procesos infinitos parecían interminables. Eudoxio trató de dar una explicación coherente y fundamental a la idea de la multiplicidad de las áreas y se acercó, y por mucho, al concepto moderno de limite, a pesar de su notación matemática tan deficiente.
Los pitagóricos enunciaban que un proceso infinito era imposible en el sentido práctico, bueno, ¡Siempre lo es! Pero con ello enfatizaban que tal proceso conducía a la negación de las longitudes fundamentales. Ellos decían que si un segmento de recta AB se biseca entonces puede bisecarse una de sus mitades y así sucesivamente llegando a un indivisible de longitud distinta de cero, algo así como un átomo recta, cuya suma, de todos los átomos recta, constituye el todo, es decir, el segmento AB. Sin embargo, él filósofo y matemático Zenón de Elea estaba en contra de esas ideas, argumentaba que una bisección ilimitada de un segmento de recta daría como resultado un segmento de recta de longitud cero y la suma sucesiva de ceros es cero, por lo que ponía en duda el aparato matemático de los Pitagóricos relacionado con los procesos infinitos.
Los pitagóricos podían conformarse diciendo que el proceso de aumentar los lados de un polígono regular, inscrito en una circunferencia, la aproxima cada vez más, pero no entendieron el paso al límite, en éste sentido fueron llevados a paradojas que hacían inteligible el problema. Sin embargo, en algo habían acertado al decir que si se quería encontrar el área de una figura curvilíneas lo mejor que se podía hacer era inscribir figuras rectilíneas o poligonales y aumentar indefinidamente el número de lados, pero no tenían una idea acertada de éste sutil indefinidamente, ni de cómo llegar al final del razonamiento, para que fuera coherente con la idea del infinito.
Hipócrates de Chíos, bajo la perspectiva de sus lúnulas y cuadraturas, tuvo una idea más acertada de lo que se entiende por proceso infinito. Para ver esto consideremos el teorema, utilizado por Hipócrates: Los círculos son entre sí como los cuadrados de sus diámetros. Para su demostración se debe primero aproximar a la circunferencia con un polígono regular inscrito en ella al que se le hace aumentar sus lados duplicándolos indefinidamente. Hipócrates, a través de sus lúnulas y cuadraturas, no llegó a dar un sustento formal a sus demostraciones, su aparato matemático dejaba siempre ideas, aparentemente insignificantes que, si se analizaban más profundamente, llevaban a múltiples discusiones de lados a un polígono regular, inscrito en una circunferencia, no lo hace la circunferencia, además, los lados de un polígonos son rectas entonces, ¿Cómo hacerlos coincidir con una curva? Y, aún así, se tenía que aceptar que la similitud entre polígonos, de muchísimos lados, y la circunferencia se hace cada vez mejor; la circunferencia es la situación límite a la que conlleva al proceso infinito de duplicación de los lados, pero evidentemente hay un momento intelectual en el que se da el salto epistemológico y se pasa del proceso infinito a la situación límite.
Para muchos historiadores de la ciencia y la geometría, los griegos, en particular Eudoxio, Euclides y Arquímedes, tuvieron una idea acertada y hasta cierto punto formal del concepto de límite, pero su notación matemática no les permitió utilizarla con facilidad y los problemas se complicaban muchísimo por ello; así lo expresó Paul Tannery a finales del siglo XIX en su resumen de los trabajos de Euclides en el Bullentin des Sc. Math serie II Vol. X de 1885, él decía:
Lo que menos falto a los griegos fueron los métodos y no así las fórmulas propias para su explicación.
Y, bajo esta perspectiva, es interesante reflexionar sobre el hecho de que Tannery viviendo en el siglo XIX haya llegado a esa consideración, de cierta manera es sorprendente, pues en general, los historiadores de la ciencia consideraban, hasta más allá del tercer cuarto del siglo XX, que los griegos no entendieron el concepto de limite, sin embargo las investigaciones recientes nos dicen otra cosa muy distinta.
Eudoxio de Cnido trató de cambiar en panorama sobre las ideas del infinito, utilizo el Método de Exhausión, correctamente por primera vez para dar un sustento formal a la demostración de la proposición de Hipócrates relacionada con las circunferencias y sus diámetros.
Para esclarecer éstas ideas pensamos en una circunferencia de radio r y consideramos que Ln es la longitud del lado y pLn es el perímetro del polígono Pn de n lados inscrito en ella, entonces, debe ser claro que el ángulo central que determina el lado Ln es = 2πn y su mitad φ es πn ; (Fig. 4). Con ello se tiene que: Ln= 2rsen πn y por lo tanto pLn = n Ln = 2nrsen πn .
Ahora bien, no hay que ser un genio para intuir, sin mucha dificultad, que si el número de lados del polígono pn aumenta, un ay otra vez en un proceso aparentemente interminable, el perímetro pLn se aproximo cada vez más a la longitud pc de la circunferencia es decir: limn→∞pLn =limn→∞2nrsen πn = pc .
Como ya se ha dicho, los griegos ya conocían la idea de aproximación, por medio de polígonos, de la circunferencia y en especial los pitagóricos quienes pudieron determinar procesos acertados de aproximación al círculo, pero el paso al límite, que puede parecer natural al geómetra modero, no fue dado y los pitagóricos no pudieron dar un sustento formal a ello, pues las respuestas a sus preguntas parecían engendrar más preguntas de las que podían resolver; ¿Cómo pasar de un gran número de lados a una infinidad? ¿Cómo creer que verdaderamente el perímetro pLn llega a ser el del círculo?
Para calcular limn→∞2nrsen πn cuando el número de lados se incrementa indefinidamente consideremos que:
2nrsinπn=2nrπn sinπnπn=2nrπnπsinxx=2rπ sinxx
En donde se ha hecho la obvia sustitución x= πn.
Ahora bien, se puede demostrar, sin mucha dificultad, que:
limn→∞sinxx=1
Y ya que: πn→0 cuando n→∞ tenemos que:
limn→∞2nrsinπn=2rπlimn→∞sinxx=2πr
A los pitagóricos les parecía muy extraño que pudiera existir el resultado final de 2 πr a pesar de que el lado Ln se hiciera cada vez más pequeño, es decir: limn→∞Ln =0 y, sin embargo, limn→∞ nLn=2 πr. pero fue precisamente en este punto donde las ideas de límite de los pitagóricos no quedaron muy claras. Ellos sabían que esto es así pero no pudieron explicar porqué, no pudieron hacerlo conectar la situación límite con el proceso infinito.
Otro matemáticos intentaron explicar tal situación pero no pudieron hacerlo con precisión, tal era el caso de Zenón de Elea e Hipócrates de Chios.
Un fenómeno similar sucede si se quiere determinar el área de una circunferencia inscribiendo un polígono regular al cual se le hace crecer su número de lados. Ya Arquímedes (287-212 a. de C.), utilizando la idea de aproximaciones sucesivas o proceso infinito que va llenando una región, calculó el valor de π con sorprendente precisión. Siguiendo más o menos esta idea determinemos el área de una circunferencia de radio r considerando para ello un proceso infinito, una sucesión de polígonos que van llenando la circunferencia. Desde luego, el razonamiento de lados y, sin embargo, debe valer para cualquier número que se considere.
Sea Pn un polígono regular de n lados inscritos en una circunferencia de radio r. (Fig. 5). Consideremos ahora, los n triángulos semejantes que se determinan, como el∆OAB, siendo AB=Ln uno de sus lados. Particularmente en la (Fig. 5) se ha considerado el lado AB del polígono P4 regular de cuatro lados; ahí, el punto D es el vértice del polígono P2n del doble de lados, y AD=L2n es uno de ellos.
De todo esto se desprende que el área del ∆OAB es:
A∆(OAB)=ABOE2=L4rcosπ42
Y, por ello, el área del polígono de cuatro lados es:
AP4=4A∆(OAB)=4L4rcosπ42=2L4rcosπ4Si generalizamos éste resultado a un polígono de n lados tenemos que su área Anes:
An=nLnrcosφ2
Siendo φ la mitad del ángulo central θ que determina el lado AB. Y si consideramos que el número de lados aumenta indefinidamente entonces:
limn→∞An=limn→∞nLnrcosφ2=AC;
En donde AC representa el área de la circunferencia de radio r. Pero tenemos que: Ln=2rsinφ y, por ello, resulta:
nLnrcosφ2=n 2rsinφrcosφ2=nr2sinφcosφ
Y como: sinφcosφ=sin2φ2 entonces se tiene que:
nr2sinφcosφ=nr2sin2φ2
Además, también se tiene: φ=θ2=n2=πn, y de ahí que:
nr2sin2πn2=nr22πnsin2πn22πn=r2πsin2πn2πn
Entonces tenemos, si tomamos en cuenta que: 2πn→0 si n→∞, que:
limn→∞An=limn→∞r2πsin2πn2πn=r2π limn→∞ sin2πn2πn=πr2
Es decir, el área AC de la circunferencia es πr2.
Todo esto está muy bien, pero hemos utilizado una forma moderna de razonar; para los matemáticos modernos el concepto de limite no tiene nada de extraordinario, pero para los antiguos geómetras griegos la situación era muy distinta; ellos querían dar un sustento formal a las ideas involucrados en los procesos infinitos, pero caían, una y otra vez, en las innumerables paradojas sobre la continuidad y la multiplicidad de las áreas. ¿Cómo debemos considerar que las áreas de los polígonos inscritos se aproximan al área de la circunferencia, que llegan a ser el área misma de la circunferencia? ¿Y cómo argumentamos que esto es verdad?
Con Eudoxio de Cnido la situación cambio, su notación matemática no le permitió avanzar en el esclarecimiento del concepto de limite, pero se las ingenio para dar un significado mucho más preciso a la idea de situación límite, él comenzó por tratar de explicar formalmente como es que las áreas de los polígonos, en un proceso aparentemente interminable, van llenando o completando el área de la circunferencia; a cada paso que se da, al duplicar los lados del polígono, se agrega más y más áreas que se agrega llena más de la mitad de lo que faltaba, pero no el todo y así sucesivamente. Entender todo esto no debe haber sido nada fácil y luego conectarlo con algo intuitivo y más fácil de entender debió llevarle mucho tiempo y dedicación. Todas estas ideas las sintetizó en un método que dio un sentido formal a sus ideas y que hoy denominamos Método de Exhausión y que según los comentarios de Simplicio de Cilicia (490-560) ya utilizaba el sofista, y contemporáneo de Sócrates, Antifón de Atenas (480-411 a. de C.)en el siglo V a. de C. Tal método se sustenta en el Principio de Exhausión que específica que:
Si a una cierta magnitud A le quitamos una parte B no menor a la mitad de A, y si del resultado de esta operación otra vez quitamos una parte no menor a su mitad y así, una vez y otra vez, tendremos como resultado una cantidad menor que cualquier otra dada inicialmente.
El Principio de exhausión puede reformularse, con matemática moderna, de la siguiente forma: Si ε y A son ciertas cantidades positivas fijadas inicialmente y si restamos a A la cantidad
B=A-A2+h≥12A, h≥0 no menor a la mitad de A, entonces tenemos que:
A-B=A-A-A2+h=A2+h=x1
Y si, nuevamente, a A-B=x1 se le resta una cantidad no menor a su mitad se obtiene:
x1-x1-x12+h=x12+h=x2
Y ya que: x1=A2+h tenemos entonces: x2=A2+h2+h=A(2+h)2
Luego, si a x2 le restamos nuevamente una cantidad no menor a su mitad tenemos que:
x2-x2-x22+h=A2+h3=x3
Y en general se tiene que: xn=A2+hn y de ahí que:
limn→∞xn=limn→∞A2+hn=Alimn→∞12+hn=0
Es decir, xn es menor que cualquier cantidad ε>0 prefijada inicialmente.
De esto se deduce que el principio de exhausción de Eudoxio es equivalente a afirmar que limn→∞12+hn=0, que es otra forma de enunciar el:
PRINCIPIO DE ARQUIMIDES o PROPIEDAD ARQUIMEDIANA
Las magnitudes de dos segmentos no pueden tener una razón si la magnitud menor no puede hacerse más grande que la mayor mediante una repetición determinada de veces.
Lo que a su vez equivale a decir que:
Si se dan dos segmentos de recta α y β con longitudes distintas de cero y siendo α menor que β entonces repitiendo un número suficientemente grande de veces la menor llegaremos a superar siempre a la mayor.
En términos modernos podemos enunciarla así:
Propiedad Arquimediana: Si α y β son dos números no negativos cualesquiera distintos de cero, tales que α<β entonces existe un número natural n tal que nα>β.
Que se traduce simplemente en: ¡No hay distancia que no pueda superarse con el múltiplo de otra!
Ahora bien, ¿Cómo sabemos que limn→∞12+hn=0?
O dicho de otra forma, ¿Cómo sabemos que: 12+hn<ε a partir de una cierta n0ϵN=1,2,3,…?
En realidad el límite de cualquier secuencia de la forma qn es cero si 0≤q<1 y precisamente por ello: limn→∞12+hn=0 ya que 0<12+h<1. En efecto, so 0<1 si s>0, además, por el binomio de Newton se tiene que:
<1entonces q puede escribirse en la forma 0
a+bn=an+nan-1b+nn-1an-2b22!+nn-1(n-2)an-3b33!+…
De donde deducimos que: a+bn≥an+nan-1b y más aun que:
a+bn≥nan-1b. Por ello, se tiene que: 0<1ns si s>0, y por lo tanto:
0<1slimn→∞1n
Pero resulta que el limn→∞1n=0 y de ahí se concluye que limn→∞qn=0 ya que se encuentra entre dos límites que tienden a 0.
Ahora, todo parece ir muy bien siempre y cuando podamos decir algo verdaderamente fuerte de que limn→∞1n=0 pero entonces se cae en otra situación. Si no aceptamos que: limn→∞1n=0, lo que equivale a decir que 1n<ε a partir de una cierta n0ϵN y cualquier ε>0 prefijado inicialmente, tendremos entonces que aceptar lo contrario, es decir, que: 1n≥ε ∀n ϵ N, lo que implicaría que: nε≤1 ∀n ϵ N lo que equivale a decir que no importa cuantas veces repitamos ε nuca podremos superar una cantidad distinta de uno, lo que está en contradicción con el Principio de Arquímedes ya que nos indica que si ε=1 tendríamos al conjunto de los números naturales acotados por 1, es decir, que todos los números naturales son menores o iguales a 1. Todo esto nos lleva a considerar que el Principio de Exhausción se basa en la propiedad arquimediana y Eudoxio lo utilizo primero que Arquímedes.
El principio de exhausción da fundamentación a la idea de confrontar dos circunferencias. En el libro XII, proposición 2, de los Elementos de Euclides puede encontrarse la demostración de que los círculos son entre sí como el cuadrado de sus diámetros.
Euclides primero aseguró, en la proposición 1 del libro XII que: Los polígonos semejantes inscritos en círculos son entre sí como los cuadrados de los diámetros, una particular forma de decir las cosas porque él hace referencia, en este punto, a que las áreas de los polígonos son entre sí como el cuadrado de los diámetros de los círculos. Para ver esto, consideremos dos polígonos semejantes inscritos en sendas circunferencias Γ1 y Γ2 de diámetros AP y αP´, como los de la fig. 6.
Dos polígonos son semejantes si existe una proporcionalidad entre sus lados, es decir, si el cociente de las longitudes de todos los lados homólogos resulta la misma constante; en el caso de los triángulos no es difícil ver que si son semejantes entonces sus ángulos son iguales y recíprocamente.
Si el polígono inscrito en Γ1 es semejante al inscrito en Γ2 entonces se tiene que:
ABαβ=BCβχ=CDχδ=DEδε=EFεϕ=FGϕγ=GAγα=k
De ello se desprende que los triángulos ∆ABD y ∆αβδ son semejantes y, por lo tanto, ADαδ=k.
Si h1 y h2 son las alturas respectivas de los triángulos ∆ABD y ∆αβδ, entonces el área del triángulo ∆ABD es:
A1=ADh12 y la del triángulo ∆αβδ es: B1=αδh22 pero h1 y h2 son segmentos determinados por los triángulos semejantes ∆ABD y ∆αβδ, al igual que los lados AD yαδ, entonces deducimos que: h1h2=ADαδ=k y de ello se tiene que:
A1B1=ADh1αδh2=ADαδk=ADαδADαδ=AD2αδ2
Es decir, las áreas de los triángulos ∆ABD y ∆αβδ son entre sí como el cuadrado de su lados AD y αδ.
Ahora, lo que necesitamos es ver qué relación hay entre las áreas de los triángulos semejantes que tengan a uno de sus lados como diámetros, para ello, consideremos en la misma figura, a los triángulos ABP y αβP´, siendo AP=D1 y αP´=D2 diámetros respectivos de las circunferencias Γ1 y Γ2. Para concluir que estos triángulos son semejantes observemos que los angulos APB y αP´β son iguales, ya que subtienden lados proporcionales y los ángulos ABP y αβP´ son rectos, por estar inscritos en medias circunferencias; entonces los ángulos BAP y βαP´ son iguales, por ser los suplementos y, de ahí que, los triángulos ABP y αβP´ son semejantes, con lados AB y αβ proporcionales y, por ello, ABαβ=APαP´. Todo esto nos llevo a considerar que las áreas de los triángulos ABP y αβP´ son entre sí como los cuadrados de los diámetros. En efecto, si BM y βN son las alturas respectivas de los triángulos ABP y αβP´ entonces se tiene que: BMβN=k, y el cociente de sus áreas es:
A∆(ABP)A∆(αβP´)=APBMαP´βN=APαP´k
Pero k también representa el cociente de los diámetros AP y αP´, es decir: k=APαP´ y por ello llegamos a:
APαP´k=APAPαP´αP´=AP2αP´2
De donde obtenemos finalmente que:
A∆(ABP)A∆(αβP´)=AP2αP´2
Sin embargo, el área de dichos polígonos no está constituida de un triángulo sino que es el resultado de la añadidura de todas las áreas de cada uno de los triángulos que los constituyen. Ahora no debe ser difícil extender el razonamiento para concluir que cada uno de estos triángulos son entre sí como el cuadrado de los diámetros y, por lo tanto, que las áreas de los polígonos son entre sí como el cuadrado de los diámetros de los círculos Γ1 y Γ2.
Efectivamente, también los triángulos ADP y αδP´ son semejantes, ya que ADαδ=k y APαP´=k. Y de ahí que:
A1A2=AP2αP´2 lo que equivale a decir que el cociente de las áreas de cualesquier dos triángulos homólogos de Γ1 y Γ2 son entre sí como el cuadrado de los diámetros.
Ahora bien, un polígono de n lados, inscrito en una circunferencia, determina n-3 diagonales a partir de un solo vértice, como en la fig. 7; las de Γ1 se han designado por D1, D2, D3,.., Dn-3 y las de Γ2 por d1,d2,d3,…dn-3. Estas n-3 diagonales determinan, a su vez, n-2 triángulos; si designamos las áreas de los n-2 triángulos deΓ1 por A1,A2,A3,…,An-2 y las de los n-2triángulos de Γ2 por B1,B2,B3,…,Bn-2 entonces se debe tener que:
A1B1=A2B2=A3B3=…=An-2Bn-2=AP2αP´2
De donde obtenemos que: Ai=BiAP2αP´2, i=1,2,3,…,n-2.
Las áreas de los polígonos son entre si como el cuadrado de los diámetros
Γ1 y Γ1 Fig.7
Ahora bien, el área del Polígono inscrito en Γ1 es:
AΓ1Pn=i=1n-2Ai. Y la del polígono inscrito en Γ1 es:
AΓ2pn=i=1n-2Bi. Entonces, el cociente de las áreas de los polígonos es:
AΓ1PnAΓ2Pn=A1+A2+A3+…+An-2B1+B2+B3+…+Bn-2
Y sustituyendo Ai=Bi (AP)2(αP')2 se tiene que:
AΓ1PnAΓ2Pn= B1 (AP)2(αP')2+B2 (AP)2(αP')2+B3 (AP)2(αP')2+…+Bn-2 (AP)2(αP')2B1+B2+B3+…+Bn-2
Y factorizando (AP)2(αP')2 se tiene: (AP)2(αP')2 i=1n-2Bii=1n-2Bi = (AP)2(αP')2
Y de ahí que AΓ1PnAΓ2Pn = (AP)2(αP')2 es decir, las áreas de los polígonos son entre sí como el cuadrado de los diámetros de las circunferencias Γ1 y Γ2.
Si pensamos que el número de lados de los polígonos inscritos en sendas circunferencias se hace sumamente grande, tiende a infinito, y si respectivamente a los diámetros de las circunferencias Γ1 y Γ2 por D1 y D2 entonces podemos considerar la generalización de la proposición XII-1 y que Euclides hace referencia en la proposición XII-2 de LOS ELEMENTOS: los círculos son entre si como el cuadrado de sus diámetros, es decir: AΓ1AΓ2 =D12D22 . Sin embargo, la demostración no es simplemente una generalización, Euclides utilizo para ello el método de exhausción de Eudoxio y luego una doble negación al suponer que: AΓ1AΓ2 <D12D22 y después que: AΓ1AΓ2 >D12D22, haciendo ver que ninguna de esas posibilidades puede ser cierta y, por lo tanto, que la única posibilidad es la igualdad.
Si ha de poderse utilizar el método de exhausción en la aproximación del área de una circunferencia mediante un polígono inscrito al cual se le duplica el número de sus lados deberemos ser capaces de justificar que, en cada etapa de la duplicación, se va aumentando, llenando o agotando, el área faltante, de tal manera que la aproximación se haga cada vez mejor. Para entender este proceso consideremos un polígono regular de lado Ln =AB inscrito en la circunferencia Γ y al punto D, en la circunferencia Γ , que duplica al lado AB, es decir, D es vértice del polígono P2N del doble de lados. Fig.8
El área aumenta en más de la mitad de la faltante
Fig.8
Ahora, consideremos el rectángulo ABCE construido sobre el lado AB, con CE pasando por D, y al triangulo ABD. Es evidente que el área del triángulo ABD es menor que el área del segmento circular ADB y que esta es menor que el área del rectángulo ABCE, es decir:
AΔ(ABD)< ASeg(ADB)
También consideremos el arco de circunferencia AD y a la recta AD; estos determinan un segmento de circunferencia cuya área llamaremos ASeg(AD).
Bajo estas consideraciones, recordemos que Principio de exhausción de Eudoxio establece esencialmente que: Si a A se le resta B, no menor a la mitad de A, y si al resultado se le resta nuevamente una parte no menor a su mitad y así sucesivamente entonces tendremos una cantidad menor que cualquier otra dad inicialmente entonces para justificar que en el proceso de la duplicación del número de los lados de un polígono regular inscrito en una circunferencia la diferencia de las áreas se hace tan pequeña como se quiera se debe considerar que en cada etapa de la duplicación se agrega más de la mitad del área faltante, lo que nos lleva a considerar la diferencia entre el área de la circunferencia AC y la de los polígonos inscritos APn y AP2n de tal modo que, en cada duplicación, se verifique que:
AC- AP2n< 12 (AC- APn)
Esta desigualdad de diferencia puede simplificarse si se observa que el área AC de la circunferencia Γ está constituida, para el caso del polígono P2n, por el área del polígono P2nmas el área de 2n segmentos de área igual a la del segmento Seg (AD), ya que cada lado determina un segmento de área igual a la del segmento Seg (AD), es decir AC =AP2n+ 2nASeg(AD). Por tanto la diferencia AC- AP2n se traduce en:
AC- AP2n=AP2n+ 2nASegAD -AP2n= 2nASegAD
Y para el caso del polígono Pn el área Ac de la circunferencia C puede escribirse como: AC =APn+ nASeg(ADB)y, con ello, la desigualdad: AC- AP2n< 12 (AC-APn) se transforma en:
2nASegAD < 12 (APn+ nASegADB-APn)
Que puede simplificarse a:
4nASegAD
Entonces, el principio de exhausción de Eudoxio se cumple, en la duplicación de los lados del polígono, si se cumple esta desigualdad. Fig. II-8.
En efecto, no es difícil probar, utilizando la Fig. 8, que la suma de los cuatro sectores AD no cubre la del sector ADB, Fig. 9., tal demostración es larga y realmente no agrega nada nuevo a las ideas involucradas y, sin embargo, sólo enfatiza las enormes dificultades a las que se enfrentó Eudoxio al considerarla, tomando en cuenta lo poco desarrollado de su algebra.
Una vez que el número de lados se ha duplicado la situación se vuelve a repetir, ahora el polígono 2n lados pasa a ser el nuevo polígono de n lados y la desigualdad se vuelve a cumplir; entonces al duplicar los lados de un polígono se agrega más de la mitas del área restante o faltante y, mediante el Principio de Exhausción de Eudoxio, se puede justificar que dada una circunferencia Γ de área Ac y un polígono Pn de área Apn inscrito en ella, al diferencia entre Ac y Apn puede llegar a ser menor que cualquier número ε por pequeño que sea, es decir, la diferencia de sus áreas se puede hacer menor que cualquier cantidad predeterminada.
Ahora bien, si consideramos nuevamente la proposición los polígonos inscritos en sendos círculos son entre sí como el cuadrado de los diámetros de las circunferencias, es decir:
AΓ1PnAΓ2Pn = (AP)2(αP')2
Vemos que sólo falta considerar que cada circunferencia está constituida por una infinidad de polígonos, es decir, pasar al límite, lo que hoy consideramos como límite de una sucesión y, por ello, la diferencia entre AΓ1Pn y AΓ1, lo mismo que entre AΓ2Pn y AΓ2, se hará menor que cualquier cantidad ε predeterminada. Pero eso, en términos modernos, significa que AΓ1Pn-AΓ1<ε, para n>n1 ϵ Ν, y que AΓ2Pn-AΓ2< ε, para n> n2 ϵ Ν, que se cumple simultáneamente siempre que n= max{n1,n2}ϵ Ν; entonces: limn→∞AΓ1pn=AΓ1 y también limn→∞AΓ2pn=AΓ2, y por ello se tiene que, considerando la ecuación AΓ1PnAΓ2Pn = (AP)2(αP')2:
limn→∞AΓ1PnAΓ2Pn=AΓ1AΓ2=(AP)2(αP')2 ⟹ AΓ1AΓ2 = D12D22
Es decir: los círculos son entre sí como sus diámetros al cuadrado.
Ahora, todo esto está muy bien, pero Eudoxio no consideró el paso al límite en esa forma, él, al igual que Euclides, utilizó Doble negación, ¿Porqué?... Pues simplemente porque la mayor parte de sus colegas geómetras griegos no aceptaban la idea del infinito como un todo. Pero, ¿Qué es esto de la Doble Negación? Consideremos la proposición x=y. el acertijo de negar la proposición x=y nos conduce a considerar dos casos posibles; primero deberemos considerar que x>y y luego que x
La idea de evitar el paso al límite y el problema de la Doble Negación llevó a los matemáticos griegos de la antigüedad a encontrar demostraciones que hoy nos parecen innecesarias o, tal vez, demasiado elaboradas.
